Словарь логики

- раздел логики, изучающий свойства высказываний об отношениях между объектами различной при­роды. Элементарными высказываниями об отношениях являются высказывания вида akb, т. е. объект а находится в отношении k к объекту b, напр.: «а брат b», «а тяжелее b» и т. п. В зависимости от числа объектов, связанных тем или иным отношением, различают   двухместные, или бинарные, отношения, трехместные, или тернарные, отношения, напр.: «a находится между b и с»; и вообще n-местные, или n-арные, отношения. Особое значение имеют бинарные отношения, посредством которых определяют такие важнейшие понятия логики и математики, как «функция» и «операция». Вводя для бинарных отношений теоретико-множе­ственные операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения, получают «алгебру отноше­ний», роль единицы в которой играют отношения эквивалентно­сти (равенства, тождества) Отношения эквивалентности обладают следующими свойствами: а) рефлексивностью: для всякого х верно, что xkx, т. е. каждый объект находится в данном отношении к самому себе; б) симметричностью: из xky следует ykx; в) транзитивностью: из xky и ykz следует xkz. Опираясь на различные свойства отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. Напр., отношение «быть братом» симметрично, поэтому из выс­казывания «а брат b» можно сделать вывод о том, что «b брат а». В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необ­ходимым для вывода свойством. Напр., можно ли из высказывания «а теплее b» сделать вывод о том, что «b теплее а»? Нет, нельзя, т. к. отношение «быть теплее» не является симметричным. Но оно яв­ляется транзитивным, потому из высказываний «а теплее b» и «b теплее с» можно вывести высказывание «а теплее с». Значительный вклад в разработку Л.о. внес рус. логик С. И. Поварнин (1870—1952). В современной математической логике отно­шения выражаются посредством многоместных предикатов, напр.: «Брат (а, b)», «Больше (а, b)» и т. п. Поэтому Л. о. в настоящее время разрабатывается как часть логики предикатов.