Словарь логики

(от греч. episteme - знание) - раз­дел модальной логики, исследующий логические связи высказыва­ний, включающих такие понятия, как «полагает» («убежден»), «со­мневается», «отвергает», «знает», «доказуемо», «неразрешимо», «опровержимо» т. п. Знание отличается от убеждения, или веры: знание всегда истинно, убеждение же может быть как истинным, так и ложным. Этому различию соответствует различие между двумя вариантами Л. э.: логикой знания и логикой убеждений. Каждая из этих «логик» слагается из логических систем, различающихся не только зако­нами, но и исходными понятиями. Иногда к Л. э. относят лишь логику убеждений. Одна из первых логик знания была сформулирована австрий­ским математиком и логиком К. Гёделем (1906-1978). Исходным термином ее является «доказуемо»; в числе ее законов положе­ния: ·         >> если высказывание доказуемо, оно истинно (доказать можно только истину, доказательств лжи не существует); ·         >> логические следствия доказуемого также являются доказу­емыми; ·         >> если нечто доказуемо, то доказуемо, что оно доказуемо; ·         >> логическое противоречие недоказуемо и т. п. Другим примером логики знания может служить логика исти­ны, устанавливающая такие законы, как: ·         >> если высказывание истинно, то неверно, что его отрицание также истинно («Если истинно, что Земля вращается, то неверно, что истинно, будто она не вращается»); ·         >> конъюнкция истинна, если и только если оба входящих в нее высказывания истинны («Истинно, что холодно и идет снег, толь­ко если истинно, что холодно, и истинно, что идет снег»), и т. п. В логике убеждений в качестве исходного обычно принимается понятие «полагает» («убежден», «верит»), через него определяют­ся понятия «сомневается» и «отвергает»: ·         >> субъект сомневается в чем-то, если только он не убежден ни в этом, ни в противоположном; ·         >> субъект отвергает нечто, если только он убежден в противо­положном. Среди законов логики убеждений положения: ·         >> субъект полагает, что первое и второе, если и только если он полагает, что первое, и полагает, что второе («Субъект верит, что Марс - планета и что Луна - планета, только если он верит, что Марс — планета, и верит, что Луна — планета»); ·         >> нельзя одновременно верить и сомневаться, быть убежден­ным и отвергать, сомневаться и отвергать; ·         >> субъект или убежден, что дело обстоит так-то, или сомневает­ся в этом, или отвергает это («Субъект или убежден, что Венера — звезда, или сомневается в этом, или отвергает это»); ·         >> невозможно быть убежденным одновременно в ч.-л. и в про­тивоположном («Нельзя верить как в то, что астрология наука, так и в то, что она не является наукой») и т. п. Для понятий «знает», «истинно», «доказуемо» верно, что логи­ческие следствия известного также известны, истинного — истин­ны, доказуемого — доказуемы. Аналогичный принцип для понятия «убежден», кажущийся противоинтуитивным, получил название парадокса логического всеведения. Он утверждает, что человек убежден во всех логических следствиях, вытекающих из   принимаемых им положений. Напр., если человек уверен в пяти постулатах геометрии Евклида, то, значит, принимает и всю эту геометрию, поскольку она вытекает из них. Но это не так. Согла­шаясь с постулатами, человек может не знать доказательства тео­ремы Пифагора и потому сомневаться в том, что она верна. Л.э. находит интересные приложения в теории познания и в методологии науки, в лингвистике, психологии и др. ЛОГИСТИКА — в начале XX в. название формальной логики, изу­чаемой математическими методами, в частности с использовани­ем аксиоматизации и формализации. Слово первоначально озна­чало искусство вычисления или обычную арифметику. Г. Лейбниц употреблял его для обозначения «исчисления умозаключений», которое он пытался развить. Термин вышел из употребления, уступив место терминам мате­матическая логика, символическая логика или логика современная. ЛОГИЦИЗМ — концепция, сводящая математику к логике. Со­гласно Л., логика и математика соотносятся между собой как час­ти одной и той же науки: математика может быть получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений. Под логикой при этом понима­ется теория дедуктивного рассуждения (см.: Дедукция) Л. восходит к идее Г. Лейбница (1646—1716) о «сводимости ма­тематики к логике». Во второй половине прошлого века немецкий логик Г. Фреге (1848-1925) сформулировал арифметику чисто ло­гически, но, столкнувшись с парадоксами, признал свою попытку безнадежной. В дальнейшем тезис Л. развивали англ. философы и логики Б. Рассел (1872-1970) и А. Уайтхед (1861-1947). Против идеи, что математические понятия можно свести к ло­гическим понятиям с помощью явных определений и затем выве­сти математические теоремы из логических аксиом, обычно выд­вигаются следующие возражения. Прежде всего, для сведения математики к логике приходится принимать аксиому беско­нечности, предполагающую существование бесконечных мно­жеств. Сам Б. Рассел вынужден был признать, что она не является собственно логической. Далее, вывод математики из логики в ка­кой-то степени содержит круг. Всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуи­тивно. Можно попытаться уменьшить их число, но нельзя изба­виться от них совсем. Различение, что из этих предпосылок отно­сится к математике, а что - к логике, лежащей в ее основе, носит субъективный и по существу произвольный характер. И наконец, в 1931 г. К. Гёдель показал, что все системы аксиоматически постро- енной арифметики существенно неполны: их средствами невоз­можно доказать некоторые содержательные истинные арифмети­ческие утверждения. Основной тезис Л. следует, таким образом, признать опровергнутым. Это не означает, что Л. был совершенно бесплодным. Его сто­ронники добились определенных успехов в прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический сло­варь сводится к неожиданно краткому перечню основных поня­тий, которые принадлежат, как принято считать, словарю чистой логики. Вся существующая математика была сведена к сравнительно простой и унифицированной системе исходных, принимаемых без доказательства положений, или аксиом, и правил вывода из них следствий, или теорем. Однако в целом Л. оказался утопической концепцией. ЛОГИЧЕСКАЯ МАШИНА — механическое, электромеханическое или электронно-вычислительное устройство, предназначенное для полуавтоматического или автоматического решения широкого круга математических и логических задач, для управления техно­логическими и производственными процессами, для оптимальных экономических расчетов, для обработки массивов информации, которые мозг человека не в состоянии охватить, для моделирова­ния форм человеческого мышления. Попытки создать механические устройства для осуществления арифметических операций уходят в далекую древность. Первую логическую машину построил Раймунд Луллий (1235—1315). Его машина состояла из семи вращающихся вокруг одного центра кругов. На каждом из них были написаны слова, выражающие раз­личные понятия, напр. «человек», «знание», «количество» и т. п., и логические операции, напр. «равенство», «противоречие» и т. п. Вра­щая круги, можно было получать разнообразные сочетания поня­тий. С помощью своей машины Луллий получал из заданных посы­лок силлогистические выводы. В первой половине XVII в. французский математик Б. Паскаль (1623-1662) сконструировал машину для вы­полнения арифметических операций. Идея машинизации процес­сов умозаключения была теоретически развита немецким фило­софом и ученым Г. Лейбницем (1646-1716) в работе «Об искусстве комбинаторики». Первой подлинно Л. м. считается «демонстра­тор» Ч. Стенхопа (1753-1816), с помощью которого проверялись не только традиционные, но и т. наз. «числовые» силлогизмы. «Де­монстратор» решал элементарные задачи традиционной логики. Научные основы для создания современных Л. м. были заложе­ны благодаря развитию математической логики и кибернетики, а техническая возможность их создания была обеспечена прогрес­сом в области электроники и автоматики. В 1944 г. в США была построена автоматическая вычислительная машина «Марк-1», имев­шая электромагнитное реле и перфоленту, на которой записыва­лись числа и указывались операции с ними. В 1945 г. Дж. фон Ней­ман предложил помещать закодированную программу вычислений в запоминающее устройство машины, что значительно расши­рило диапазон ее возможностей. С середины 50-х годов начали со­здаваться информационно-логические машины, способные хранить значительные записи информации, выбирать из них необходимые данные и производить не только математическую обработку ин­формации, но и логические операции. Л. м. последующих поколе­ний способны осуществлять миллиарды операций в секунду, раз­личать простые рисунки, самообучаться, понимать простые фразы на естественном языке и решать самые разнообразные задачи во многих областях науки, техники, управления и т. д. Принципиальная схема Л. м. включает следующие основные ком­поненты: 1. Входное устройство, преобразующее внешнюю инфор­мацию в последовательность электрических импульсов. 2. Выходное устройство, преобразующее электрические сигналы в последова­тельность воспринимаемых человеком знаков. 3. Запоминающее ус­тройство, хранящее информацию и часто называемое просто «па­мятью» машины. Различают оперативную память, емкость которой сравнительно невелика, но отличается быстродействием, и дол­говременную, внешнюю память, с большим объемом, но мень­шим быстродействием. 4. Арифметическое устройство, осуществ­ляющее математические и логические действия. 5. Блок управления, обеспечивающий автоматическое выполнение программы, введен­ной в машину. Все более широкое использование Л. м. позволяет человеку решать все более сложные задачи, освобождает его от рутинных мыслительных операций и делает человеческий труд все более творческим. ЛОГИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ — соответствие законам и пра­вилам формальной логики. Обычно проводят различие между ис­тинностью и правильностью человеческого мышления. Понятие истины характеризует мышление в его отношении к дей­ствительности: мысль, предложение истинны, если они соответ­ствуют действительности. Понятие правильности характеризует мышление в его отношении к законам и правилам логики: рас­суждение правильно, если в нем соблюдены все необходимые пра­вила логики. Различие между истинностью и правильностью отчетливо про­является в тех случаях, когда формально правильное рассуждение приводит к ложному выводу. Напр., рассмотрим умозаключение: Все металлы — твердые тела. Ртуть не является твердым телом. Ртуть не является металлом. Это умозаключение построено в форме простого категориче­ского силлогизма, причем оно отвечает соответствующим прави­лам, т. е. правильно. Однако вывод является ложным. Это обуслов­лено ложностью первой посылки. Если рассуждение построено неправильно, то даже из истинных посылок мы можем получить как истину, так и ложь. Напр.: Все тигры — полосаты. Это животное - полосато. Это животное — тигр. Выводное суждение может быть как истинным, так и ложным, в зависимости от того, кто перед нами — полосатый тигр или полоса­тая зебра. Для того чтобы выводное знание было безусловно истин­ным, требуется, чтобы наше рассуждение опиралось на истинные посылки и было правильным. Правильность рассуждений можно кон­тролировать, гораздо сложнее устанавливается истинность знания. Уче­ные прошлого часто приходили к ложным выводам не потому, что рассуждали неправильно, а потому, что посылки их были ложными. ЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМА — способ связи содержательных частей рассуждения (доказательства, вывода и т. п.). В соответствии с ос­новным принципом логики, правильность рассуждения зависит только от его формы и не зависит от его конкретного содержания. Само название «формальная логика» подчеркивает, что эта логи­ка интересуется только формой рассуждения. Л. ф. представляется посредством логических констант и переменных. Логические кон­станты, подобные «и», «или», «если, то» и т. д., не имеют само­стоятельного содержания, но с их помощью из одних содержа­тельных выражений могут быть получены новые содержательные выражения. Переменные, входящие в Л. ф., представляют выра­жения, обладающие самостоятельным содержанием: высказыва­ния, имена (см.: Символы собственные и несобственные) Напр., высказывания «Все лошади едят овес» и «Все реки впа­дают в море» различны по своему содержанию, причем первое истинно, а второе ложно. Отвлекаясь от содержания высказыва-   ний, можно заменить их части переменными S и Р. Получим, что данные высказывания имеют одну и ту же логическую форму: «Все S есть Р». Содержательно разные высказывания «Если есть огонь, то есть дым» и «Если математика - наука, то она устанавливает зако­ны» также имеют одинаковую логическую форму: «Если А, то В». Следующие два вывода, различающиеся своим содержанием, совпадают по своей логической форме: «Если сейчас день, то свет­ло. Сейчас день. Следовательно, светло» и «Если 13 - простое чис­ло, оно делится только на себя и на единицу. 13 - простое число. Следовательно, 13 делится только на себя на и на единицу». Заме­нив высказывания, входящие в данные выводы, переменными, получаем, что в обоих случаях рассуждение идет по одной и той же схеме: «Если А, то В. А. Следовательно, В». Это — схема пра­вильного рассуждения: какие бы конкретные высказывания ни подставлялись вместо A и В, если посылки истинны, заключение также будет истинным (см.: Логическая правильность). Различие между Л. ф. и содержанием не является абсолютным. То, что в одном случае считается относящимся к форме, в другом может оказаться содержательным компонентом рассуждения, и наоборот. Интерес логики к Л. ф. не означает отвлечение ее от всякого содержания. Сама Л. ф. обладает определенным абстрактным со­держанием, его иногда называют «формальным», чтобы отличить от «конкретного содержания». Скажем, форма «Все S есть Р» ука­зывает, что у всякого предмета, обозначаемого буквой S, есть при­знак, обозначаемый буквой Р. Понятие Л. ф. является центральным в логике. С ним связаны понятия логического закона, правила вывода, логического следова­ния и др. ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ, или: Логические постоян­ные, — термины, относящиеся к логической форме рассуждения (доказательства, вывода) и являющиеся средством передачи чело­веческих мыслей и выводов, заключений в любой области. К Л. к. относятся такие слова, как «не», «и», «или», «есть», «каждый», «некоторый» и т. п. Л. к. не имеют самостоятельного содержания. Сами по себе они ничего не описывают и ничего не обозначают. Вместе с тем они позволяют из одних содержательных выражений получать другие. Установление точного смысла Л. к. и выяснение самых общих законов, относящихся к ним, — одна из основных задач логики (см.: Логическая форма, Символы собственные и несоб­ственные, Символика логическая). ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ - операции, посредством которых из простых высказываний образуются сложные, из простых тер- минов — сложные, из высказываний — термины, из терминов — высказывания и т. д. К Л. о., позволяющим из одних высказываний получать другие высказывания, относятся конъюнкция («и», символически &), дизъ­юнкция («или», v), импликация («если, то», ->), эквивалентность («если и только если», =), отрицание («неверно, что», ~) и др. Так, если даны два произвольных высказывания A и В, из них с помощью конъюнкции получается сложное высказывание A & В, которое истинно, только когда A и B истинны; с помощью дизъ­юнкции получается сложное высказывание A v В, истинное, ког­да хотя бы одно из входящих в него высказываний истинно, и т. п. (см.: Логика высказываний). ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИКИ - устройства, реа­лизующие некоторые простые логические функции и функцио­нальные преобразования в машинах, самостоятельно работающих по заданной программе. Наиболее распространенны